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'무지개타고'님의 통계강좌

- 최초 작성일 : 2007-10-23
- 최종 수정일 : 2007-10-23

- 강좌 읽음수 : 5,789회
- 자료 작성자 : 무지개타고

- 자료 편집자 : Exceller (권현욱, exceller@amorepacific.com)

강좌 제목 : 통계로 세상보기 - (24) 30cm 자 만들기

 

'통계'라고 하면 여러분은 어떤 생각이 드시나요? 저는 개인적으로 좋은 기억보다 그렇지 않은 기억이 많습니다만, 최근 들어 통계를 좀더 공부해야겠다는 생각을 많이 하고 있습니다.

이번 시간에 함께 할 주제는 '무지개타고'님의 재미있는 통계이야기입니다. '무지개타고'님은 '통계로 세상보기'라는 블로그(http://instatistics.officetutor.org/)를 운영하고 있기도 합니다. 위트와 재미가 있는 통계강좌에 빠져보시기 바랍니다.


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만약에 만10세~18세까지의 취학 연령대의 인구(학생)는 자가 항시 필요한데, 가지고 있는 자를 매년 한번씩 부러뜨려 먹다 보니 매년 한번씩 꼭 산다고 하자.

통계청의 추계인구 자료를 보니 2007년 인구는 6,025,530명이다. 이 중 여학생은 30㎝ 자가 학업에 필요 다면 남학생의 수만 알면 되겠다. 추계인구 중 남학생은 3,194,155명이다. 30㎝ 학습용 자의 판매가가 1,000원 이라고 한다면, 학습용 자의 시장규모는 대략 32억 된다. 이에 우리에 길동이 의기투합하여 학습용 자를 생산하는 공장을 세워 자를 만들기 시작한다. 이제 돈 벌 일만 남았다.

길동이 드디어 30㎝ 학습용 자의 첫 시제품을 완성했다. 그런데 길이를 확인하니 30.11㎝가 나왔다. 30㎝ 자의 길이는 무조건 30㎝로 정확해야 한다. 당연하다. 30㎝ 자가 29㎝ 또는 31㎝가 나오면 안되잖아. 그런데 30.11㎝ 이다.

만약에 30㎝ 자의 표준 규격을 29.9㎝~30.1㎝라고 가정한다면 평균은 30㎝이고 규격 한계는 ±0.1㎝이다(음... 애매하군... 이걸 시장에 내다 팔어? 말어??)

표준 규격을 벗어나므로 길동이는 30.11㎝의 자를 사기(?)치고 팔아야 될 형국이다. 그런데 두번째 시제품은 29.99㎝가 나왔다. 만약 생산된 자의 길이가 정규분포 N(30.05, 0.0072)를 따른다고 한다면...

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표준 규격에 포함되는 면적이 68.36% 이므로 대략 2/3 만 유통 가능한 품질수준이다. 풀 죽은 길동이... 넘들은 6시그마인지 뭔지도 한다는데 이게 도대체 뭐냐고요? 그래! 더 정확한 30㎝ 자를 만들자.

방법은 크게 두 가지다. 평균을 이동시키는 방법과 분산을 줄이는 방법.
우선 분산을 줄이기 위해 현재 공정을 1s라 한다면, 1s공정의 분산을 반으로 줄이는 공정을 2s라 하고 1s공정의 분산을 1/3로 줄이는 공정을 3s라 하고...

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이랬을 때 4s부터는 합격률의 증가속도가 거의 정체되어 나타나는걸 볼 수 있다. 즉 5s, 6s는 좋긴 하지만 노력한 만큼 성과가 눈에 잘 띄지 않는 참으로 힘든 단계가 되겠다.

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그리고 여기다 평균까지 고려하면...

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엄청 정신 없어 보이는데, 평균이 30에 가깝고 분산이 작을 수록 합격률이 높은건 당연하다(원래 통계는 당연한 걸 당연하게 보여주는거다. 아닌가?). 여기서 만약에 규격에서 제시한 ±0.1㎝ 을 1σ라 하고, 1σ를 반으로 줄인 것을 2σ, 1σ를 1/3로 줄인 것을 3σ라고 한다면...

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익히 알려진 6σ다. 그런데 이 때 편의(bias)가 발생된다고 한다.
참고로... 편의란 대충 이런 거다. 과녁에 화살을 쏘는데, 한 쪽으로 쏠리는 것.

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이렇게 편의가 발생된다면 활의 축을 이동시키야 하는데, 여차 잘못하면 안정된 분산까지 커질 수 있어서 절대 만만치 않은 작업이다.

다시 돌아와서, 편의가 발생될 때에 6σ수준의 분포를 편의가 없을 때(불편)와 비교해 그려보면 아래와 같다.

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축(평균)의 이동으로 인해 많은 변화가 발생했다. 즉 6σ수준의 공정 내에서 불편일 때 ±3σ내 면적 보다, 편의일 때 ±3σ내 면적이 훨씬 줄어들기 때문인데, 범위를 6σ까지로 넓힌다면 눈으로 봐선 불편이든 편의든 거의 차이가 없다 (물론 '거의' 차이가 없는 것과 차이가 없는 것은 다르지만...).

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공정수준을 어디에 맞추냐는 상당히 중요한 문제인데 솔직히 6σ가 가능한 공정수준인지 의심스럽다. 말이 쉬워 불량률 3.4ppm이지 숫자만으론 그냥 0과 별 차이 없는 매우 작은 값으로 엄청난 노력이 없다면 거의 불가능한 수준으로 보기 때문이다. 그런데 6σ가 가능하다는 것은 작년 설 때 발생된 5천원 신권 오류 사건을 보고 알았다.

- "어~ 홀로그램 또 없네"... 인쇄 잘못된 5000원 신권 잇달아 발견

사건의 발단이나 대책은 각자 확인 바라고, 관심 있는 건 불량률이니... 1억5천만장이 시중에 유통되어서 3장의 불량 화폐가 발견됐다. 그리고 창고에 비축된 1517만장에서 7장의 불량 화폐가 발견됐다. 그럼 총 1억6517만장 중에서 10장의 불량 화폐가 나온거다. 이를 가지고 불량률을 구해보면 1/16,517,000 이다(단, 발견 안된 불량 화폐는 없다고 가정한다).

이 숫자가 얼마나 작은 숫자인지 나 부터도 감이 오지 않는데 6σ수준에서 불량률이 3.4ppm이고 7σ수준일 때 불량률은 0.019ppm이다. 그런데 화폐 불량률은 0.06ppm이다. 계산해 보니 6.8σ수준에서의 불량률과 근사하던데 이 정도면 불량이 발생됐다고 호들갑을 떨게 아니라, 그 불량 신권을 찾아냈다는게 역으로 더 놀라울 정도다.

그에 반해 여론조사에서 익히 보아온 95% 신뢰수준은 약 1.96σ로 6σ에는 깜도 안 되는 수준이다(신뢰수준을 6σ로 키운다면 제2종오류 또한 매우 커질 것이다).

아무튼 믿기 싫은(?) 수준의 안 인간적인(?) 공정관리가 가능하다고 하니...
길동아 열심히 뺑이 돌아라! 돌리고~ 돌리고~


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